Von abstrakten Räumen und konkreten Werten

Können Sie sich einen Raum vorstellen, der mehr als drei Dimensionen hat, gekrümmt ist und dazu auch noch Unebenheiten aufweist? Was ein wenig nach Science Fiction klingt, ist in der mathematischen Forschung schon länger wissenschaftliche Realität. 

Abstraktes Bild

In ihren Arbeiten untersucht und beschreibt die Arbeitsgruppe "Stochastische Analysis" am Hausdorff Center diese Räume bereits sehr genau. Dazu verwendet das Team Methoden aus der Differentialrechnung.

Wenn Sie sich die Räume, um die es hier geht, ein wenig besser vorstellen möchten, könnten Sie zum Beispiel an einen Donut denken. Auch die Raumzeit ist Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie zufolge gekrümmt. Mathematiker untersuchen zum Beispiel wie man das Volumen eines so abstrakten Raumes genau berechnen könnte oder wie hoch die Eigenschwingung dort ist. Bereits seit langem weiß man, dass viele dieser Eigenschaften nur von zwei Faktoren abhängen: der Dimension des Raumes und seiner Krümmung. Die Wissenschaftler unterscheiden dabei zwischen positiver und negativer Krümmung - also zwischen der Krümmung einer Kugel und der eines Sattels.

Für viele Theorien sind aber auch diese gekrümmten mehrdimensionalen Räume noch ein viel zu simples Modell. Denn auch im schönsten Raum können Unregelmäßigkeiten auftreten. So wie zum Beispiel eine Orange keine perfekte Kugel ist, weil der Ansatz des Astes, an dem sie einmal hing, und die vielen kleinen Vertiefungen in der Schale die Makellosigkeit ihrer Geometrie stören. In der Mathematik nennt man solche Unebenheiten "Singularitäten". Und in den Singularitäten gelten ganz andere Regeln. Hier verliert der übliche Begriff der Krümmung seine Bedeutung. Und die Dimension kann variieren, sie muss dabei keineswegs eine ganze Zahl sein. Solche Räume können daher auch nicht mit Hilfe der üblichen Differentialrechnung beschrieben werden.

Um die Geometrie dieser Räume dennoch genauer zu beschreiben, mussten die Wissenschaftler verschiedene, scheinbar weit voneinander entfernte Forschungsgebiete miteinander verknüpfen. Dafür war das Konzept des "Optimalen Transports" wichtig. So bezeichnen Mathematiker die Frage, wie eine bestimmte Massenverteilung am effizientesten in eine andere überführt werden kann. Bereits 2005 entdeckten HCM-Koordinator Karl-Theodor Sturm und seine Kollegen, dass es einen Zusammenhang zwischen der Krümmung eines Raumes und dem Optimalen Transport gibt. Aus dem Transportverhalten konnten die Forscher Information über die Krümmung und die Dimensionen eines Raumes ablesen. Seitdem können diese Eigenschaften auch für Räume mit Singularitäten berechnet werden.

Karl-Theodor Sturm und Matthias Erbar vom Hausdorff Center ist es nun gelungen die Theorie gemeinsam mit ihrem Kollegen Kazumasa Kuwada aus Tokio noch einmal entscheidend zu verbessern. In ihrer Arbeit zeigten sie erstmals, dass es auch in diesen Räumen möglich ist mit Methoden aus der Differentialrechnung zu arbeiten, wenn man sich Krümmung und Dimension geschickt zu nutze macht. Bis dahin war es den Mathematikern nicht gelungen die Informationen über die Dimension, die sie aus dem Transportverhalten abgeleitet hatten, auch für die Beschreibung der Räume zu verwenden. Somit fehlte ein entscheidendes Puzzlestück in der Theorie, das nun gefunden ist.

Mit seinen Forschungen hat das deutsch-japanische Team das Fundament für ein besseres Verständnis von abstrakten Räumen gebaut. Erste Wissenschaftler haben die neue Theorie schon für ihre eigenen Arbeiten verwendet und so weitere Erkenntnisse gewonnen. Wir dürfen uns also in Zukunft noch auf viele spannende Entdeckungen aus diesem Forschungsgebiet freuen.