Ein Problem weniger in Dimension 24

HCM Doktorand Danylo Radchenko war Teil der internationalen Arbeitsgruppe, der es kürzlich gelang, das berühmte Kugelpackungsproblem in Dimension 24 zu lösen. Hier erklärt er uns, wie er Teil dieses spannenden Forschungsprojektes wurde, was der Schlüssel zur Lösung des Problems war, und wie das Leben eines Doktoranden am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn so ist.

Du bist Co-Autor eines Artikels über das Kugelpackungsproblem in Dimension 24. Fangen wir mal ganz von vorne an. Was ist denn das Kugelpackungsproblem eigentlich?

Dieses Problem geht auf Johannes Kepler zurück, der 1611 die Frage aufwarf, wie man Kanonenkugeln so anordnen kann, dass sie am dichtesten zusammengepackt sind und sich so auch am besten transportieren lassen. Er hat die Antwort gefunden, konnte sie aber nicht beweisen. Daher heißt das Ganze auch „Keplersche Vermutung“. Physiker arbeiten seitdem damit. Aber für Mathematiker reicht es nicht, etwas zu vermuten, man muss logisch stringent herleiten können, warum es stimmt. Die Lösung ist eigentlich ziemlich intuitiv, fast jeder findet die richtige Anordnung, wenn man ihm einen Haufen Bälle und etwas Zeit gibt. Aber mathematisch zu beweisen, warum das funktioniert, ist hoch komplex. Selbst für den ganz normalen dreidimensionalen Raum wurde die Lösung daher auch erst 1998 gefunden.

Und wie kommt Ihr jetzt in die 24ste Dimension…?

Wir hatten es nicht wirklich darauf abgesehen das Problem in einer bestimmten Dimension zu lösen. Aber durch die Arbeiten von Cohn und Elkies war schon seit einiger Zeit bekannt, dass das Kugelpackungsproblem in den Dimensionen acht und 24 ziemlich speziell ist und dass sich die Lösung hier durch bestimmte, mysteriöse Funktionen finden lassen könnte. Daher waren wir auf diese Dimensionen und die Funktionen doch recht fokussiert. 

Wie habt Ihr das Problem gelöst?

Wir arbeiten schon seit Jahren daran, mal mehr, mal weniger intensiv. Insgesamt waren wir eine Gruppe von drei Leuten, die dazu im regen Austausch standen: Maryna Viazovska, Andrii Bondarenko und ich. Wir machten sehr viele Berechnungen dazu, aber irgendwie erzielten wir nicht die Fortschritte, auf die wir gehofft hatten. Dann kam Maryna letztes Jahr plötzlich die brillante Idee, nicht die Funktionen zu konstruieren, die man eigentlich für das Kugelpackungsproblem benötigt, sondern andere aus der Theorie der Modulformen. Sie entdeckte dabei, dass es eine ganz direkte Verbindung zwischen diesen beiden ganz verschiedenen Feldern der Mathematik gibt. Das war ganz klar der Durchbruch. Am Anfang war ich skeptisch und dachte, das kann nicht stimmen. Aber dann sah ich sehr schnell, dass das die Lösung sein würde. Trotzdem waren noch gut anderthalb Jahre harter Arbeit nötig, bis wir das Problem schließlich für Dimension acht lösen konnten. Ich habe Maryna bei einigen Kleinigkeiten und mit den Computerberechnungen geholfen, aber die Lösung ist ihr Verdienst.

Wie ging es dann weiter?

Nachdem Maryna ihren Artikel über das Kugelpackungsproblem in Dimension acht eingereicht hatte, rief sie mich ein paar Tage später an und fragte ob wir uns jetzt zusammen mit Henry Cohn, Abhinav Kumar und Stephen D. Miller an die Dimension 24 machen könnten, die technisch gesehen viel schwieriger zu lösen ist als die achte. Die drei hatten unabhängig von uns auch zu diesem Problem geforscht. Ich war natürlich sofort dabei. Wir haben das Problem dann in knapp einer Woche extrem intensiver Arbeit gelöst. Wir haben jede Stunde zehn Emails dazu ausgetauscht. Wir waren sehr in Eile, weil auch andere das Problem für Dimension 24 nun hätten lösen können, nachdem wir veröffentlicht hatten wie es in Dimension acht funktioniert.

Ist das nur eine rein theoretische Frage oder hat es auch einen praktischen Nutzen, wenn man etwas über Kugeln in so hohen Dimensionen weißt?

Das Problem hat unter anderem Bezüge zur Kodierungstheorie und zur Kombinatorik. Wenn wir das Kugelpackungsproblem lösen, sorgen wir auch für Fortschritte auf diesen Gebieten. Eine praktische Anwendung, die mit dem Kugelpackungsproblem in Dimension 24 zusammenhängt, ist zum Beispiel der sogenannte binäre Golay Code. Den hat die NASA unter anderem bei der Voyager Mission verwendet um zu überprüfen, ob übermittelte Daten trotz des Hintergrundrauschens im All korrekt ankommen.

Ich denke aber, die wichtigste Leistung der Arbeit ist nicht die Lösung des Problems selber, sondern, dass wir zeigen konnten, dass es hier eine Verbindung zu den Modulformen gibt. Das könnte ganz neue Entwicklungen in der Forschung anstoßen. Das ist wahnsinnig spannend und wir versuchen gerade besser zu verstehen, was es bedeutet.

Ist das Kugelpackungsproblem auch Teil Deiner Doktorarbeit?

Nein, da mache ich etwas über Funktionalgleichungen für Polylogarithmen. Das war etwas stressig, weil ich meine Promotion eigentlich gerade abschließen und einreichen wollte, als die heiße Phase der Arbeit an dem Kugelpackungsproblem begann. Ich habe dann gedacht, ok, die Doktorarbeit kann erst mal warten. Aber jetzt habe ich sie endlich eingereicht und werde sie bald verteidigen.

Du stammst ursprünglich aus der Ukraine. Wie bist Du nach Bonn gekommen?

Maryna lud mich als Gast an das Max-Planck-Institut in Bonn ein, als sie selbst noch Doktorandin hier war und ich Bachelor-Student. Damals habe ich auch Professor Don Zagier kennengelernt, der jetzt mein Doktorvater hier ist. Ich war sofort von der Atmosphäre begeistert und wollte gerne zurückkommen. Es fällt mir schwer Worte dafür zu finden, wie schön es in Bonn wirklich ist. Hier passiert einfach so viel in der Mathematik. Man hat tolle Kollegen, mit denen man sich austauschen kann, es gibt immer interessante Vorträge und Mathematiker aus aller Welt kommen für Gastprogramme an das Hausdorff Center. Das ist sehr inspirierend. Die Stimmung in Bonn hat sicherlich sehr zum Gelingen meiner Arbeit beigetragen.

Wie ging es dann weiter?

Nachdem Maryna ihren Artikel über das Kugelpackungsproblem in Dimension acht eingereicht hatte, rief sie mich ein paar Tage später an und fragte ob wir uns jetzt zusammen mit Henry Cohn, Abhinav Kumar und Stephen D. Miller an die Dimension 24 machen könnten, die technisch gesehen viel schwieriger zu lösen ist als die achte. Die drei hatten unabhängig von uns auch zu diesem Problem geforscht. Ich war natürlich sofort dabei. Wir haben das Problem dann in knapp einer Woche extrem intensiver Arbeit gelöst. Wir haben jede Stunde zehn Emails dazu ausgetauscht. Wir waren sehr in Eile, weil auch andere das Problem für Dimension 24 nun hätten lösen können, nachdem wir veröffentlicht hatten wie es in Dimension acht funktioniert.

Ist das nur eine rein theoretische Frage oder hat es auch einen praktischen Nutzen, wenn man etwas über Kugeln in so hohen Dimensionen weißt?

Das Problem hat unter anderem Bezüge zur Kodierungstheorie und zur Kombinatorik. Wenn wir das Kugelpackungsproblem lösen, sorgen wir auch für Fortschritte auf diesen Gebieten. Eine praktische Anwendung, die mit dem Kugelpackungsproblem in Dimension 24 zusammenhängt, ist zum Beispiel der sogenannte binäre Golay Code. Den hat die NASA unter anderem bei der Voyager Mission verwendet um zu überprüfen, ob übermittelte Daten trotz des Hintergrundrauschens im All korrekt ankommen.

Ich denke aber, die wichtigste Leistung der Arbeit ist nicht die Lösung des Problems selber, sondern, dass wir zeigen konnten, dass es hier eine Verbindung zu den Modulformen gibt. Das könnte ganz neue Entwicklungen in der Forschung anstoßen. Das ist wahnsinnig spannend und wir versuchen gerade besser zu verstehen, was es bedeutet.

Ist das Kugelpackungsproblem auch Teil Deiner Doktorarbeit?

Nein, da mache ich etwas über Funktionalgleichungen für Polylogarithmen. Das war etwas stressig, weil ich meine Promotion eigentlich gerade abschließen und einreichen wollte, als die heiße Phase der Arbeit an dem Kugelpackungsproblem begann. Ich habe dann gedacht, ok, die Doktorarbeit kann erst mal warten. Aber jetzt habe ich sie endlich eingereicht und werde sie bald verteidigen.

Du stammst ursprünglich aus der Ukraine. Wie bist Du nach Bonn gekommen?

Maryna lud mich als Gast an das Max-Planck-Institut in Bonn ein als sie selbst noch Doktorandin hier war und ich Bachelor-Student. Damals habe ich auch Professor Don Zagier kennengelernt, der jetzt mein Doktorvater hier ist. Ich war sofort von der Atmosphäre begeistert und wollte gerne zurückkommen. Es fällt mir schwer Worte dafür zu finden, wie schön es in Bonn wirklich ist. Hier passiert einfach so viel in der Mathematik. Man hat tolle Kollegen mit denen man sich austauschen kann, es gibt immer interessante Vorträge und Mathematiker aus aller Welt kommen für Gastprogramme an das Hausdorff Center. Das ist sehr inspirierend. Die Stimmung in Bonn hat sicherlich sehr zum Gelingen meiner Arbeit beigetragen.